几种常见排序算法-白红宇

几种常见排序算法

阅读量：6403 次

发布时间：2019-06-23

本文共 9195 字，大约阅读时间需要 30 分钟。

本文介绍几种常见排序算法（选择排序，插入排序，希尔排序，归并排序，快速排序，堆排序），对算法的思路、性质、特点、具体步骤、java实现以及trace图解进行了全面的说明。最后对几种排序算法进行了比较和总结。

写在前面

本文所有图片均截图自coursera上普林斯顿的课程中的Slides

相关命题的证明可参考

源码可在下载,也可以在我的github仓库下载，已经使用maven构建

仓库下载：git clone git@github.com:brianway/algorithms-learning.git

基础介绍

java:

Java中很多类已经实现了Comparable<T>接口，用户也可自定义类型实现该接口

total order:

Antisymmetry(反对称性): if v ≤ w and w ≤ v, then v = w.

Transitivity(传递性): if v ≤ w and w ≤ x, then v ≤ x.

Totality: either v ≤ w or w ≤ v or both.

注意： The <= operator for double is not a total order，violates totality: (Double.NaN <= Double.NaN) is false

通用代码：

// Less. Is item v less than w ?private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {    return v.compareTo(w) < 0;}//Exchange. Swap item in array a[] at index i with the one at index jprivate static void exch(Comparable[] a,, int i, int j) {    Comparable swap = a[i];    a[i] = a[j];    a[j] = swap;}

初级排序算法

selection sort(选择排序)

思路：

在第i次迭代中，在剩下的(即未排序的)元素中找到最小的元素

将第i个元素与最小的元素交换位置

现象：

设已排序的和未排序的交界处为 ↑，则每次循环， ↑ 从左往右移动一个位置

↑ 左边的元素（包括↑）固定了，且升序

↑ 右边的任一元素全部比左边的所有元素都大

选择排序

步骤：

move the pointer to the right

indentify index of minimun entry on right

exchange into positon

选择排序

java实现：

public static void sort(Comparable[] a) {    int N = a.length;    for (int i = 0; i < N; i++) {        int min = i;        for (int j = i+1; j < N; j++) {            if (less(a[j], a[min])) min = j;        }        exch(a, i, min);    }}

特点：

运行时间和输入无关，无论输入是已排序，时间复杂度都是O(n^2)

数据移动最少，交换的次数和数组大小是线性关系

insertion sort(插入排序)

思路：

在第i次迭代中，将第i个元素与每一个它左边且比它大的的元素交换位置

现象：

设已排序的和未排序的交界处为 ↑，则每次循环， ↑ 从左往右移动一个位置

↑ 左边的元素（包括↑）且升序，但位置不固定(因为后续可能会因插入而移动)

↑ 右边的元素还不可见

插入排序

步骤：

Move the pointer to the right.

Moving from right to left, exchange a[i] with each larger entry to its left.

插入排序

java实现：

public static void sort(Comparable[] a) {    int N = a.length;    for (int i = 0; i < N; i++) {        for (int j = i; j > 0 && less(a[j], a[j-1]); j--) {            exch(a, j, j-1);        }    }}

inversion（倒置）：An inversion is a pair of keys that are out of order

部分有序：An array is partially sorted if the number of inversions is ≤ c N.

特点：

运行时间和输入有关，当输入已排序时，时间复杂度是O(n);

For partially-sorted arrays, insertion sort runs in linear time.(交换的次数等于输入中倒置(inversion)的个数)

插入排序适合部分有序数组，也适合小规模数组

ShellSort(希尔排序)

希尔排序是基于插入排序的。

思路：

Move entries more than one position at a time by h-sorting the array

按照h的步长进行插入排序

现象：

数组中任意间隔为h的元素都是有序的

A g-sorted array remains g-sorted after h-sorting it.

希尔排序

性质：

递增数列一般采用3x+1：1,4,13,40,121,364.....，使用这种递增数列的希尔排序所需的比较次数不会超过N的若干倍乘以递增数列的长度。

最坏情况下，使用3x+1递增数列的希尔排序的比较次数是O(N^(3/2))

java实现：

public static void sort(Comparable[] a) {    int N = a.length;    // 3x+1 increment sequence:  1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, ...     int h = 1;    while (h < N/3) h = 3*h + 1;     while (h >= 1) {        // h-sort the array        for (int i = h; i < N; i++) {            for (int j = i; j >= h && less(a[j], a[j-h]); j -= h) {                exch(a, j, j-h);            }        }        h /= 3;    }}

shuffing(不是排序算法)

目标：Rearrange array so that result is a uniformly random permutation

shuffle sort思路

为数组的每一个位置生成一个随机实数

排序这个生成的数组

Knuth shuffle demo

In iteration i, pick integer r between 0 and i uniformly at random.

Swap a[i] and a[r].

correct variant: between i and N – 1

Mergesort--Java sort for objects.

Quicksort--Java sort for primitive types.

下面看看这两种排序算法

merge sort(归并排序)

思路：

Divide array into two halves.

Recursively sort each half.

Merge two halves.

Abstract in-place merge(原地归并的抽象方法)

Given two sorted subarrays a[lo] to a[mid] and a[mid+1] to a[hi],replace with sorted subarray a[lo] to a[hi]

步骤：

先将所有元素复制到aux[]中，再归并回a[]中。

归并时的四个判断：
- 左半边用尽(取右半边元素)
- 右半边用尽(取左半边元素)
- 右半边的当前元素小于左半边的当前元素(取右半边的元素)
- 右半边的当前元素大于/等于左半边的当前元素(取左半边的元素)

merging java实现：

// stably merge a[lo .. mid] with a[mid+1 ..hi] using aux[lo .. hi]private static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi) {    // precondition: a[lo .. mid] and a[mid+1 .. hi] are sorted subarrays     // copy to aux[]    for (int k = lo; k <= hi; k++) {        aux[k] = a[k];     }    // merge back to a[]    int i = lo, j = mid+1;    for (int k = lo; k <= hi; k++) {        if      (i > mid)              a[k] = aux[j++];        else if (j > hi)               a[k] = aux[i++];        else if (less(aux[j], aux[i])) a[k] = aux[j++];        else                           a[k] = aux[i++];    }}

Top-down mergesort(自顶向下的归并排序)

mergesort java实现：

// mergesort a[lo..hi] using auxiliary array aux[lo..hi]private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) {    if (hi <= lo) return;    int mid = lo + (hi - lo) / 2;    sort(a, aux, lo, mid);  //将左边排序    sort(a, aux, mid + 1, hi);  //将右边排序    merge(a, aux, lo, mid, hi); //归并结果}

自顶向下的归并排序的轨迹图

归并排序

由图可知，原地归并排序的大致趋势是，先局部排序，再扩大规模；先左边排序，再右边排序；每次都是左边一半局部排完且merge了，右边一半才开始从最局部的地方开始排序。

改进

对小规模子数组使用插入排序

测试数组是否已经有序（左边最大<右边最小时，直接返回）

不将元素复制到辅助数组(节省时间而非空间)

Bottom-up mergesort(自底向上的归并排序)

思路：

先归并微型数组，从两两归并开始(每个元素理解为大小为1的数组)

重复上述步骤，逐步扩大归并的规模，2,4,8.....

java实现：

public class MergeBU{   private static void merge(...){ /* as before */ }    public static void sort(Comparable[] a){     int N = a.length;     Comparable[] aux = new Comparable[N];     for (int sz = 1; sz < N; sz = sz+sz)     for (int lo = 0; lo < N-sz; lo += sz+sz)     merge(a, aux, lo, lo+sz-1, Math.min(lo+sz+sz-1, N-1));   }}

自底向上的归并排序的轨迹图

归并排序

由图可知，自底向上归并排序的大致趋势是，先局部排序，逐步扩大到全局排序；步调均匀，稳步扩大

quicksort

思路：

Shuffle the array.

Partition(切分) so that, for some j

entry a[j] is in place

no larger entry to the left of j

no smaller entry to the right of j

Sort each piece recursively.

其中很重要的一步就是Partition(切分)，这个过程使得满足以下三个条件:

对于某个j,a[j]已经排定;

a[lo]到a[j-1]中的所有元素都不大于a[j];

a[j+1]到a[hi]中的所有元素都不小于a[j];

partition java实现

// partition the subarray a[lo..hi] so that a[lo..j-1] <= a[j] <= a[j+1..hi]// and return the index j.private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {    int i = lo;    int j = hi + 1;    Comparable v = a[lo];    while (true) {         // find item on lo to swap        while (less(a[++i], v))            if (i == hi) break;        // find item on hi to swap        while (less(v, a[--j]))            if (j == lo) break;      // redundant since a[lo] acts as sentinel        // check if pointers cross        if (i >= j) break;        exch(a, i, j);    }    // put partitioning item v at a[j]    exch(a, lo, j);    // now, a[lo .. j-1] <= a[j] <= a[j+1 .. hi]    return j;}

快排java实现：

public static void sort(Comparable[] a) {    StdRandom.shuffle(a);    sort(a, 0, a.length - 1);}// quicksort the subarray from a[lo] to a[hi]private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {     if (hi <= lo) return;    int j = partition(a, lo, hi);    sort(a, lo, j-1);    sort(a, j+1, hi);    assert isSorted(a, lo, hi);}

快排的轨迹图

快速排序

由图可知，和归并排序不同，快排的大致趋势是，先全局大体有个走势——左边比右边小，逐步细化到局部；也是先左后右；局部完成时全部排序也就完成了。

一些实现的细节：

原地切分：不使用辅助数组

别越界：测试条件(j == lo)是冗余的(a[lo]不可能比自己小)；

保持随机性：初始时的随机打乱跟重要

终止循环

处理切分元素值有重复的情况：这里可能出问题

性质：

快排是in-place的

快排不稳定

改进

对小规模子数组使用插入排序

三取样切分

三向切分的快速排序

思路：

Let v be partitioning item a[lo].

Scan i from left to right.

(a[i] < v): exchange a[lt] with a[i]; increment both lt and i

(a[i] > v): exchange a[gt] with a[i]; decrement gt

(a[i] == v): increment i

主要是通过增加一个指针来实现的。普通的快拍只有lo和high两个指针，故只能记录大于(high右边)和小于(lo左边)两个区间，等于只能并入其中一个；这里增加了使用了lt,i,gt三个指针，从而达到记录大于(gt右边)、小于(lt左边)和等于(lt和i之间)三个区间。

三切分的示意图

三向切分

三向切分的java实现：

// quicksort the subarray a[lo .. hi] using 3-way partitioningprivate static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {     if (hi <= lo) return;    int lt = lo, gt = hi;    Comparable v = a[lo];    int i = lo;    while (i <= gt) {        int cmp = a[i].compareTo(v);        if      (cmp < 0) exch(a, lt++, i++);        else if (cmp > 0) exch(a, i, gt--);        else              i++;    }    // a[lo..lt-1] < v = a[lt..gt] < a[gt+1..hi].     sort(a, lo, lt-1);    sort(a, gt+1, hi);}

Heapsort(堆排序)

思路：

Create max-heap with all N keys.

Repeatedly remove the maximum key.

swim:由下至上的堆有序化

sink:由上至下的对有序化

堆排序主要分为两个阶段：

堆的构造

下沉排序

java实现如下：

public static void sort(Comparable[] pq) {    int N = pq.length;    //堆的构造    for (int k = N/2; k >= 1; k--)        sink(pq, k, N);        //下沉排序    while (N > 1) {        exch(pq, 1, N--);        sink(pq, 1, N);    }}

堆排序的轨迹图

堆排序